El quinto postulado en la formulación de Euclides: <si una recta que corta a otras dos forma dos ángulos internos (alfa y beta) menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas ilimitadamente acabarán encontrándose en un punto P>. En una formulación más moderna: <por un punto P situado fuera de una recta pasa una y sólo una paralela a la recta dada>.
Hay un presupuesto implícito en la visión de Euclides: la necesidad de que el plano sea ilimitado o infinito. En un área limitada, en efecto, puede haber más de un segmento que satisfaga las condiciones de paralelismo (es decir, pasar por P y no encontrar la recta r). En un plano finito, el quinto postulado no es válido.
En una geometría elíptica, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre mayor de 180°.
La geometría de Riemann parte del supuesto de que en un plano no puede haber paralelas. Así se consigue que el plano se curve sobre sí mismo hasta formar una esfera.
El plano de Lobacevskij se obtiene rotando la curva AB en torno al eje de simetría C. La suma de los ángulos del triángulo situados sobre este plano es inferior a 180°.
Esquema conceptual del <mundo con forma de silla de montar> originado en la geometría de Lobacevskij. En un plano con esta forma es posible construir un sistema geométrico en el que pueda haber <varias rectas paralelas a una recta dada que pasen por un mismo punto>.
TOMADO DE ATLAS UNIVERSAL DE FILOSOFÍA - OCEANO
